www.5129.net > 已知三维列向量X和矩阵A,使向量组X,AX,A^2X线性无关,且满足:A^3X=3AX*^2X,...

已知三维列向量X和矩阵A,使向量组X,AX,A^2X线性无关,且满足:A^3X=3AX*^2X,...

A=PBP^-1等式两边同时右乘一个P得AP=PB因为P=(x,Ax,A^2x),所以AP=(Ax,A^2x,A^3x)我们发现,右边P最高的是A^2.上面的式子里面出现了A^3x,不过正好可以用题目

是 A^3X=3AX-2A^2X ?解: (1) AP = A(X,AX,A^2X)= (AX,A^2X,A^3X)= (AX,A^2X,3AX-2A^2X)= (X,AX,A^2X)B = PB.其中 B =0 0 01 0 30 1 -2 搞定请采纳 ^_^

由A^3X=3AX-2A^2X得 A(A^2x -3X +2Ax)=0∵X,AX,A^2X线性无关∴A^2x -3X +2Ax≠0故:|A|=0

题目应该是抄错了满足A^3=3AX-2A^2X,这里应该是满足A^3X=3AX-2A^2X,少个X三阶矩阵B,使得B=PBP^(-1),这里我感觉应该是 三阶矩阵B,使得A=PBP^(-1)(1)AP=(AX AAX A^3X)=(AX,AAX,3AX-2AAX)=(X AX A^2X)(0 0 0)1 0 30 1

1) AP=A(x, Ax, A^2*x) =(AX,A^2X,A^3X) =(AX,A^2X,3AX-A^2X) =(X,AX,A^2X)[ 0 0 0 1 0 3 0 1 -1 ] =PB B =[ 0 0 0 1 0 3 0 1 -1 ]2) AP=PB ,X,AX,A^2X线性无关,P可逆 P逆*A*P=B ,A与B相似 |A|=|B|=0

由(1), P^-1AP = B, 故B的特征值即A的特征值.求出B的特征值对应的特征向量, 如 Bα=λα则 APα = PBα=λPα即 Pα 是A的属于特征值 λ 的特征向量.

PB=(x,Ax,A^2x)B=AP=(Ax,A^2x,A^3x)=(Ax,A^2x,3Ax-A^2x)所以B=0 0 01 0 30 1 -1当然这样的结果不一定唯一,这只是其中一种,如果需要求出所有的B,应该还需A和x的情况,比如x=0的话,那么B取任意矩阵均可.

由B=PAP^(-1)得BP=PA=(XA,A^2*X,A^3*X)=(XA,A^2*X,3AX-2A^2X)(1)又向量组X,AX,A^2*X 线性无关观察式子(1)中所有元素均可由X,AX,A^2*X构成根据矩阵的乘法运算则可直接凑配出B=(0 0 0,1 0 3, 0 1 -2)

解: AB = A(x,Ax,A^2x)= (Ax,A^2x,A^3x)= (Ax,A^2x,3Ax-A^2x)= (x,Ax,A^2x)C= BC 其中 C =0 0 01 0 30 1 -2

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